1.1 命题与命题联结词
选择题考点
1.1.1 命题与命题的表示
推理:由一个或几个已知的前提,推导出一个未知结论的思维过程。
真值:表达这些前提的陈述句是否成立的一个属性。
>>当陈述句成立时,其真值为真,表示为T(True)。
例:地球是行星。
>>当陈述句不成立时,其真值为假,表示为F(False)。
例:2是无理数。
命题:具有唯一真值的陈述句称作命题,也称为语句。
*疑问句、感叹句、祈使句等都不能构成命题。
>>真值为真的命题——真命题
>>真值为假的命题——假命题
例:判断下列句子中哪些构成命题。
①8不是素数;√
②雪是黑的;√
③到2049年世界人口将超过90亿;√
④喜马拉雅山好高啊!×
⑤x+1=2。×
总结:判断命题的两个条件
>>语句本身是个陈述句;
>>它有唯一的真值。
命题的表示
>>命题可用大小写英文字母或字母加数字的形式来表示。
例:P或p;P1或Q2
>>命题为真时,其真值用“T”或“1”表示。
>>命题为假时,其真值用“F”或“0”表示。
例:
P:所有的素数都是奇数。 真值为F
Q:6是一个合数。 真值为T
【单选题】下列句子不是命题的是( )。
A.中华人民共和国的首都是北京
B.张三是学生
C.雪是黑色的
D.太好了
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『正确答案』D
『答案解析』D选项不是陈述句,故不是命题。参见教材P18。
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1.1.2 复合命题与联结词
原子命题/简单命题:不能再分解的命题。
例:张三是学生。
8不是素数。
复合命题:由原子命题通过联结词联结而成的命题。
例:如果今年有假期,我将去欧洲旅游。
尽管我在减肥,但是我还是想吃饭。
【单选题】下列语句是原子命题的为( )。
A.x+y>xy
B.请给我来点掌声吧
C.小明既爱唱歌又爱跳舞
D.火星上有生物
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『正确答案』D
『答案解析』A、B选项不符合命题要求;C选项为复合命题,故选D。参见教材P19。
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数理逻辑中常用的联结词
1.否定
设𝑃为命题,𝑃的否定是一个复合命题,记作¬𝑃。符号¬称作否定联结词。命题¬𝑃读作“非𝑃”。
例:
𝑃:今天是星期五。
¬𝑃:今天不是星期五。
*真值表:复合命题的真值依命题中所含各原子命题的真值来确定,可用一张表来表示,这样的表称为真值表。
若𝑃为𝑇,¬𝑃为𝐹;若𝑃为𝐹,则¬𝑃为𝑇。
¬的定义
2.合取
设𝑃、𝑄为两个命题,𝑃和𝑄的合取是一个复合命题,记作𝑃∧𝑄。符号∧称为合取联结词。(表示:𝑃并且𝑄)
例:
𝑃:2是偶数。
𝑄:2是素数。
𝑃∧𝑄:2既是偶数,也是素数。
【注意】
1.有时表示并列的“与”“和”不对应于合取。
例:“我与王强是同学”中的“与”连接的是并列的主语,而非两个原子命题。
2.复合命题中𝑃∧𝑄中的两个原子命题可以互换位置,即𝑃∧𝑄与𝑄∧𝑃的含义是相同的,真值表也一样。
3.复合命题所含的多个原子命题之间可以没有逻辑关联性。
4.“合取”可将两个互为否定的命题联结在一起,例:𝑃∧¬𝑃。
∧的定义——举例
这套家具是明代的 |
这套家具是檀木的 |
这套家具是明代的,并且是檀木的 |
T |
T |
? |
T |
F |
? |
F |
T |
? |
F |
F |
? |
当且仅当𝑃、𝑄同时为𝑇时,𝑃∧𝑄为𝑇,其余情况𝑃∧𝑄为𝐹。
∧的定义
P |
Q |
P∧Q |
T |
T |
T |
T |
F |
F |
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T |
F |
F |
F |
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3.析取
设𝑃、𝑄为两个命题,𝑃和𝑄的析取是一个复合命题,记作𝑃∨𝑄。(表示:𝑃或者𝑄)
例:王小林是运动会的跳高或100米短跑的冠军。
设𝑃:王小林是运动会的跳高冠军。
𝑄:王小林是运动会的100米短跑冠军。
*此命题表达的是王小林或者是跳高冠军,或者是短跑冠军,也有可能是两个项目的冠军。可用𝑃∨𝑄表示。——“同或”
例:王小林今天或者去美国,或者去欧洲。
设𝑃:王小林今天去美国。
𝑄:王小林今天去欧洲。
*此命题表示的是王小林只能去一个地方。不可用𝑃∨𝑄表示。——“异或”
同或:“或”表示的是“相容”的含义,即两者并不互相排斥,可能同时成立。可以用∨表示。
异或:“或”表示的是“异或”,即复合命题中的两个原子命题不会同时成立,它们之间具有排斥性。可表示为(𝑃∧¬𝑄)∨(¬𝑃∧𝑄)。
∨的定义——举例
这套家具是明代的 |
这套家具是檀木的 |
这套家具是明代的,或者是檀木的 |
T |
T |
? |
T |
F |
? |
F |
T |
? |
F |
F |
? |
当且仅当𝑃、𝑄同时为𝐹时,𝑃∨𝑄的真值为𝐹,其余情况𝑃∨𝑄的真值为𝑇。
∨的定义
P |
Q |
P∨Q |
T |
T |
T |
T |
F |
T |
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T |
T |
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F |
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