拓扑学基础（2008）自学考试大纲

　　一、课程性质与学习目的

　　拓扑学是数学专业的一门基础课程，它主要研究拓扑空间在同胚变换下的不变量或不变性质。它在许多领域有着广泛的应用。学习拓扑学对于培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力都有着十分重大的作用。通过拓扑学的学习，我们能从较高观点探讨《数学分析》、《实变函数》以及《几何学》中若干问题的认识和理解，为进一步学习和研究《拓扑学》及现代数学的其它分支奠定基础。

　　二、课程内容与考核目标

　　（一）集合论初步

　　1、课程内容

　　集合的基本概念  集合的基本运算  关系  等价关系  映射  集族及其运算  可数集 不可数集

　　2、课程难点

　　等价关系  集族

　　3、考核要求

　　（1）对关系、等价关系、映射、集族、笛卡尔积、可数集、不可数集等概念要求识记；

　　（2）理解关系、等价关系、映射、集族、笛卡尔积、可数集、不可数集的有关性质；

　　（3）掌握集合的基本运算，集族的运算及基本公式，并会用这些公式解决问题。

　　4、考核目标

　　通过这部分的学习，使学生能够掌握集合论的初步知识，为进一步学习拓扑学打下基础。

　　（二）拓扑空间与连续映射

　　1、课程内容

　　度量空间和连续映射  拓扑空间和连续映射  邻域与邻域系 导集  闭集  闭包  内部边界  基与子基  拓扑空间中的序列

　　2、课程难点

　　基、子基的性质；

　　3、考核要求

　　（1） 对度量空间、拓扑空间、开集、邻域、映射在一点连续、连续映射、度量诱导的拓扑、可度量化空间、同胚、拓扑不变性质、邻域系、聚点、孤立点、闭集、闭包、内点、内部、边界点、边界、基、子基、邻域基、邻域子基、序列、序列的极限点、收敛、子序列等概念要求识记。

　　（2） 理解拓扑空间的定义及有关拓扑空间的概念，拓扑空间连续映射的定义，连续映射的一些等价定义；

　　（3） 掌握拓扑空间、开集、邻域、映射在一点连续、连续映射、同胚、拓扑不变性质、邻域系、聚点、孤立点、闭集、闭包、内点、内部、边界点、边界、基、子基、邻域基、邻域子基、序列、序列的极限点的性质，并会应用这些性质解决问题。掌握拓扑空间的验证方法，及一些比较特殊的拓扑空间（离散拓扑空间，平庸拓扑空间，可数补空间，有限补空间等）。

　　4、考核目标

　　使学生掌握拓扑学的基础知识，为进一步学习拓扑学打下基础。

　　（三）子空间，（有限）积空间，商空间

　　1、课程内容

　　子空间  （有限）积空间  商空间

　　2、课程难点

　　商空间的概念及性质

　　3、考核要求

　　（1）对子空间拓扑，有限积拓扑，商拓扑、嵌入、积空间、投射、商映射、商空间、开（闭）映射的定义要求识记；

　　（2）理解子空间拓扑，有限积拓扑，商拓扑与原拓扑空间拓扑的关系；

　　（3）掌握子空间拓扑，有限积拓扑，商拓扑空间中的开集的特点与性质；

　　（4）会应用子空间、有限积空间、商空间的性质。

　　4、考核目标

　　使学生掌握拓扑空间与其子空间、拓扑空间与其商空间以及拓扑积空间的性质，并对这些性质有比较深入的理解。

　　（四）连通空间

　　1、课程内容

　　连通性的应用  连通分支  局部连通空间  道路连通空间  道路连通分支

　　2、课程难点

　　连通分支、道路连通分支的概念及性质

　　3、考核要求

　　（1）对连通空间、道路连通空间、局部连通空间、（有限）可积性质、连通子集、连通分支、局部连通空间、道路连通空间等概念要求识记；

　　（2）理解连通子集，连续映射保持不变的性质；

　　（3）掌握连通空间、道路连通空间、局部连通空间、（有限）可积性质、连通子集、连通分支、局部连通空间、道路连通空间的性质，掌握连通空间、道路连通空间、局部连通空间判定方法；

　　（4）会应用连通空间、道路连通空间、局部连通空间、（有限）可积性质、连通子集、连通分支、局部连通空间、道路连通空间的性质。

　　4、考核目标

　　使学生掌握连通空间的性质，及连通空间的一些应用。

　　（五）可数性公理

　　1、课程内容

　　第一可数性公理  第二可数性公理  可分空间  Lindel？ff空间

　　2、课程难点

　　Lindel？ff空间的定义和性质

　　3、考核要求

　　（1） 对可数性公理、可分空间、Lindel？ff空间等概念要求识记；

　　（2）理解A2空间和A1空间的关系，可数性公理的可遗传性质及有限可积性质；

　　（3） 掌握可数性公理、可分空间、Lindel？ff空间的性质；

　　（4）会应用可数性公理、可分空间、Lindel？ff空间的性质。

　　4、考核目标

　　使学生掌握可数性公理、可分空间、Lindel？ff空间的性质，为进一步学习分离性公理打下基础。

　　（六）分离性公理

　　1、课程内容

　　T0、T1、Hausdorff空间  正则空间  正规空间  T3、T4空间  Urysohn引理 Tietze扩张定理  完全正则空间  Tychonoff空间  分离性公理与子空间   （有限）积空间和商空间  可度量化空间

　　2、课程难点

　　Urysohn引理和Tietze扩张定理

　　3、考核要求

　　（1）对T0、T1、T2、T3、T3.5、T4、正则、正规、完全正则空间、Tychonoff空间等概念要求识记解；

　　（2）理解Urysohn引理，Tietze扩张定理、Urysohn嵌入定理的内容及证明方法；

　　（3）掌握T0、T1、正则、正规、完全正则、Tychonoff空间的性质；

　　（4）会应用T0、T1、正则、正规、完全正则、Tychonoff空间的性质。

　　4、考核目标

　　使学生掌握分离性公理的性质，并且为进一步学习分离性与紧致性的关系打下基础。

　　（七）紧致性

　　1、课程内容

　　紧致空间 紧致性与分离性公理  几种紧致性以及其间关系  度量空间中的紧致性  局部紧致空间  仿紧空间

　　2、课程难点

　　几种紧致性 度量空间的紧致性 仿紧空间的性质

　　3、考核要求

　　（1）对紧致、可数紧致、列紧、序列紧致、局部紧致空间、仿紧空间等概念要求识记；

　　（2）理解紧致、可数紧致、列紧、序列紧致的性质及其相互关系；拓扑空间加一点紧化；

　　（3）掌握紧致、紧致子集、可数紧致、列紧、序列紧致的性质， 紧致空间、紧致子集、可数紧致、列紧、序列紧致空间的判别方法，紧致性和分离性公理的关系；

　　（4）会应用紧致、可数紧致、列紧、序列紧致的性质。

　　4、考核目标

　　使学生掌握有关紧致、可数紧致、列紧、序列紧致拓扑空间的概念及性质，为进一步学习拓扑学打下基础。

　　三、有关说明和实施要求

　　本门课程考核要求由低到高共分为“识记”、“理解”、“掌握”、“会应用”四个层次。其含义：识记，指学生对所学概念、定理能够完整表述，对定理的使用范围清楚等；理解，指学生对所学知识有较深入的认识，并能在有关问题中认识或再现它们；掌握，指学生能深刻认识所学知识，并在此基础上能够正确使用它们；会应用，指学生能准确熟练地应用这些知识要求推理证明及解决相关问题。

　　1、命题的指导思想：全面考查学生对本课程的基本原理、基本概念和主要知识点学习、理解和掌握的情况。命题的原则是：题目数量多、份量小，范围广，最基本的知识一般要占50%左右，稍微灵活一点的题目要占30%左右，较难的题目要占20%左右。

　　本课程考试时间为150分钟，满分为100分。

　　拓扑学是一门相对独立的学科，它与其它学科的联系并不是十分紧密，拓扑学的内容虽然涉及集合论，数学分析等学科，它的一些概念和方法是度量空间，连续函数等概念的推广，但其研究内容和方法已发生了根本的变化，因此具备了集合论，连续函数的基本知识对拓扑学的学习和理解会起到一定的作用，本学科需要的集合论的基本知识也是学习拓扑学的必要的基础知识，我们放在了第一部分（建议本部分不做考核要求），若熟悉第一部分知识的内容可直接进行第二部分的学习。

　　2、自学方法指导：本课程的理论性很强，同时大量的概念给自学者带来了一定的困难，这就要求自学者全面把握基本理论和基本概念，通过大量的例题、习题，切实掌握拓扑学的基本概念和基本知识，基本方法和技巧。

　　3、对助学的要求： 第一、社会助学者应根据大纲规定的考试内容和考核目标，认真钻研指定教材，明确本课程与其它课程的不同特点和学习要求，对自学应考者进行切实有效的辅导，引导他们防止自学中的各种偏向，把握社会助学的正确方向；第二、要正确处理基本知识和应用能力的关系，努力引导自学应考者将识记、理解、掌握、会应用联系起来，把基本知识转化为解决问题的能力， 在辅导的基础上，帮助自学应考者建立用系统的观点进行分析问题和解决问题的能力；第三、要正确处理重点和一般的关系。课程内容有重点和一般之分，但考试内容是全面的，而且重点与一般是相互影响的，不是截然分开的。社会助学者应指导自学应考者全面系统地学习教材内容，掌握全部考试内容和考核知识点，在此基础上再突出重点。总之，要把重点学习同兼顾一般结合起来，切勿孤立地抓重点，把自学应考者引向猜题、押题。

　　4、题型事例

　　河北省《拓扑学基础》课程自学考试模拟试卷

　　一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

　　1、设 ，下列集族中，（    ）是 上的拓扑。

　　①   ②

　　③   ④

　　2、已知 ，拓扑 ，则 =（   ）

　　①φ    ②       ③    ④

　　3、设 是一个拓扑空间，A，B 是 的子集，则下列关系中错误的是（     ）

　　①      ②

　　③      ④

　　4、平庸空间的任一非空真子集为（      ）

　　① 开集   ② 闭集  ③ 即开又闭   ④ 非开非闭

　　5、有理数集 是实数空间 的一个（    ）

　　① 不连通子集                ② 连通子集

　　③ 开集           　　　　　 ④ 以上都不对

　　6、设 ， ，则 是（     ）

　　① 空间   ② 空间  ③  空间 ④ 以上都不对

　　二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

　　1、设 ，则 的离散拓扑为                            ；

　　2、设 是可数补空间 中的一个不可数子集，则 =          ；

　　3、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个                                  ；

　　4、若拓扑空间 有一个可数稠密子集，则称 是一个           ；

　　5、正则的 空间称为                 ；

　　三、判断题（本大题共2个小题，每小题4分，共8分；其中判断1分，说明理由3分）

　　1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射（      ）

　　2、设拓扑空间 满足第二可数性公理，则 满足第一可数性公理（  ）

　　四、名词解释（本大题共3个小题，每小题3分，共9分）

　　1、   同胚映射

　　2、   正规空间：

　　3、紧致空间

　　五、简答题（每题4分，共8分）

　　1、设 是一个拓扑空间， 是 的子集，且 .试说明 .

　　2、在实数空间R中给定如下等价关系：

　　或者 或者

　　设在这个等价关系下得到的商集 ，试写出 的商拓扑T .

　　六、证明题（本大题共5个小题，其中1，2，3，4，每题5分，第6小题6分，共31分）

　　1、设 是拓扑空间 的一个连通子集， 满足 ，则 也是 的一个连通子集。

　　2、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间。证明X不满足第一可数性公理。

　　3、设 是一个 空间， ， ，证明：对 的每一个邻域 有 是无限集。

　　4、设 是一个拓扑空间，证明 是hausdorff空间当且仅当积空间 的对角线 是一个闭集。

　　5、设 是一个正则空间， 是 的一个紧致子集， .证明：如果 ，则 也是 的一个紧致子集。

　　河北省《拓扑学基础》课程自学考试模拟试卷参考答案与评分细则

　　一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

　　1、②  2、④    3、③    4、④    5、①   6、①

　　二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

　　1、

　　2、

　　3、在连续映射下保持不变的性质

　　4、可分空间

　　5、 空间

　　三、判断题（本大题共2个小题，每小题4分，共8分；其中判断1分，说明理由3分）

　　1、答案：√

　　理由：设 是离散空间， 是拓扑空间， 是连续映射，因为对任意 ，都有 ，由于 中的任何一个子集都是开集，从而 是 中的开集，所以 是连续的。

　　2、答案：√

　　理由：设拓扑空间 满足第二可数性公理， 是它的一个可数基，对于每一个 ，易知 是点 处的一个邻域基，它是 的一个子族所以是可数族，从而 在点 处有可数邻域基，故 满 足第一可数性公理。

　　四、名词解释（本大题共3个小题，每小题3分，共9分）

　　1、设 和 是两个拓扑空间。如果 是一个一一映射，并且 和  都是连续映射，则称 是一个同胚映射或同胚。

　　2、设 是一个拓扑空间，如果 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称 是正规空间。

　　3、设 是一个拓扑空间。如果 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间 是一个紧致空间。

　　五、简答题（每小题4分，共8分）

　　1、答案：对于任意 ，设 是 的任何一个邻域，则有 ，由于 ，从而 ，因此 ，故 .

　　2、答案：

　　六、证明题（本大题共5个小题，其中1、2、3、4每题6分，第5小题7分，共31分）

　　1、证明：若 是 的一个不连通子集，则在 中有非空的隔离子集  使得 .因此   ………………………………… 3分

　　由于 是连通的，所以 或者 ，如果 ，由于 ，所以 ，因此  ，同理可证如果 ，则 ，均与假设矛盾。故 也 是 的一个连通子集。    …………………………………………………………………… 6分

　　2、证明：若 满足第一可数公理，则在 处，有一个可数的邻域基，设为V x ，因为X是可数补空间，因此对 ， 是 的一个开邻域，从而  ，使得 .

　　于是 ， …………………………………………………3分

　　由上面的讨论我们知道：

　　因为 是一个不可数集，而 是一个可数集，矛盾。

　　从而X不满足第一可数性公理。 ………………………………6分

　　3、证明：设 ，若 有一个开邻域 含有 中的有限多个点，设 ，则 是一个有限集，从而 是一个闭集，故 是一个开集且是 的一个开邻域。 …………………………………3分

　　又易知 ，从而 ，矛盾。故 是无限集。 …………………………………………………………………6分

　　4、证明：充分性：对任意 ，于是 ，由于 是闭集，所以 是开集，从而有 的开邻域 使得 ，于是 分别是 的开邻域，且 ，从而 是Hausdorff空间。 ……………………………………………………………3分

　　必要性：若 是hausdorff空间，对 ，则 和 分别有开邻域 ，使得 ，从而 ，由于 是 中的开集，所以 是其每一点的邻域，故 是开集，从而 是闭集。 ……………………………………………………………6分

　　5、证明：设A是任意一个由X中的开集构成的Y的覆盖，因此A也是A的一个覆盖，由于A是X的紧致子集，从而A有有限个成员 使得 .   …………………………………3分

　　由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域 ，使得 ，从而有 ，从而A有有限子覆盖 ，因此Y是X的一个紧致子集。  ………………7分

河北省教育考试院