量子力学（2036）自学考试大纲

　　1、课程性质及学习目的

　　《量子力学》课程是物理专业本科生必修科目，是近代物理学两大支柱之一，是近代物理学的基础。该课程是物理专业最重要的一门专业基础必修课，是物理类专业研究生招生考试和复试的重要课程。《量子力学》作为物理专业及其相关专业本科生的必修课程，学好该课程，可以顺利地进入现代物理学的其他专业课的学习，也可以与物理及相关专业研究生的《高等量子力学》课程相衔接。随着考研科目的改革，《量子力学》课程在现代科学中的地位更加突出，显得极为重要。

　　学习该课程的目的和要求如下：

　　（1）通过系统学习量子力学的基本原理，加深对近代物理学的理解与认识；

　　（2）通过学习量子力学，使学生基本掌握和达到国家教委制定的师范院校物理专业本科生应掌握的量子力学知识和运算能力；

　　（3）获得在本门课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力；

　　（4）为学习后续课程和独力解决实际问题打下必要的基础。

　　2、课程内容及考试目标

　　主要内容

　　量子力学主要内容包括：量子力学发展简况，波函数，薛定谔方程，力学量和算符，态和力学量的表象，微扰论，自旋和全同粒子。

　　主要考核目标

　　（1）掌握波粒二象性是一切物质客体所具有的普遍属性。

　　（2）正确理解和熟练掌握描写微观粒子运动状态的波函数的意义及量子力学的基本方程—薛定谔方程的求解。

　　（3）熟练掌握力学量用算符表示后量子力学规律所取的形式及力学量与算符的关系。

　　（4）了解表象的物理意义和一些简单的表象变换。

　　（5）掌握用久期方程求解算符的本征值和本征函数的方法。

　　（6）正确理解定态微扰论的方法和使用条件，熟练掌握非简并情况下体系能级的二级近似值与一级近似波函数的计算方法，了解与时间有关的微扰理论。

　　（7）认识微观粒子的自旋角动量的性质，熟记自旋角动量算符与自旋波函数的表达方式。

　　（8）理解全同粒子的不可区分性、全同性原理以及波函数的对称性与统计法之间的关系。

　　各章节具体考核要求如下：

　　第一章  绪论

　　考核要求

　　（一）经典物理学的困难

　　1.领会：经典物理学对一些涉及微观领域的实验结果是无法解释的。

　　（二）光的波粒二象性

　　1.识记：（1）Planck的能量子理论。（2）Einstein的光量子理论。（3）Compton效应。

　　2.领会：（1）光的波动性和粒子性。（2）Compton效应证明了光具有粒子性。

　　3.简单应用：用Planck-Einstein理论解释黑体辐射和光电效应。

　　（三）原子结构的Bohr理论

　　1.识记：Bohr-Sommerfeld量子化条件

　　2.领会：Bohr理论的内容

　　3.简单应用：用Bohr-Sommerfeld量子化条件求解简单体系的能级。

　　（四）微观粒子的波粒二象性

　　1.识记：De Broglie波的含义和De Broglie波的波长公式。

　　2.领会：（1）微观实物粒子的波粒二象性。（2）De Broglie关系式的物理意义。（3）微观粒子的波动性的实验验证。

　　3.简单应用：用De Broglie波长公式计算微观实物粒子的波长。

　　第二章  波函数和薛定谔方程

　　考核要求

　　（一）波函数的统计解释

　　1.识记：（1）波函数的统计解释。（2）波函数的归一化条件。

　　2.领会：微观粒子的运动状态由波函数描写。

　　3.简单应用：用归一化条件把波函数归一化。

　　（二）态迭加原理

　　1.识记：态迭加原理的内容。

　　2.领会：（1）态迭加原理的意义。（2）量子迭加原理与经典迭加原理的区别。

　　3.简单应用：对于动量连续取值的情况，会用Fourier变换式求迭加系数。

　　（三）薛定谔方程

　　1.识记：（1）自由粒子的薛定谔方程。（2）一般力场的薛定谔方程。（3）多粒子体系的薛定谔方程。

　　2.领会：量子力学运动方程建立的条件。

　　（四）粒子流密度矢量和粒子数守恒定律

　　1.识记：（1）几率分布的连续性方程的内容及数学表达式。（2）波函数的标准条件。（3）几率流密度矢量的数学表达式。

　　2.领会：（1）几率分布的连续性方程的物理意义。（2）几率流密度矢量的物理意义。（3）波函数一般应为复数。

　　3.简单应用：（1）计算几率流密度矢量。（2）由几率分布的连续性方程可以表示出粒子数守恒定律、质量守恒定律和电荷守恒定律。

　　（五）定态薛定谔方程

　　1.识记：定态薛定谔方程及定态波函数

　　2.领会：（1）定态的特点。（2）含时间的薛定谔方程的一般解。

　　3.综合运用：会求解定态薛定谔方程。

　　（六）一维无限深势阱

　　1.识记：一维无限深势阱的能级和波函数。

　　2.领会：（1）一维无限深势阱的本征问题的求解方法。（2）一维无限深势阱本征解的特点及意义。

　　3.综合运用：会把一维无限深势阱的结果运用到二维和三维势阱体系中。

　　（七）线性谐振子

　　1.识记：（1）量子线性谐振子的含义。（2）线性谐振子体系的能级和波函数。

　　2.领会：（1）线性谐振子体系的本征问题的求解方法。（2）线性谐振子体系本征解的特点及意义。

　　3.综合运用：会把线性谐振子体系的结果运用到二维和三维振子体系中。

　　第三章  量子力学中力学量

　　考核要求

　　（一）表示力学量的算符

　　1.识记：（1）算符的定义。（2）算符厄密性和线性性的含义。（3）动量算符和角动量算符及其本征解。（4）力学量算符的构成法则。

　　2.领会：量子力学中用线性厄密算符表示力学量。

　　3.简单应用：会求解力学量算符的本征解。

　　（二）氢原子

　　1.识记：（1）氢原子的能级及其简并度。（2）氢原子的波函数及其性质。（3）角动量及其角动量的Z分量算符的本征值和本征函数。

　　2.领会：（1）氢原子体系的哈密顿算符的本征解的求解过程。（2）角动量平方及其角动量的Z分量算符的本征值的简并度。

　　3.综合运用：会用氢原子的哈密顿、角动量和角动量Z分量算符的本征解做一些相关的应用题。

　　（三）厄密算符本征函数的正交性

　　1.识记：二函数正交的定义。

　　2.领会：厄密算符正交归一性的含义。

　　3.简单应用：（1）会证明厄密算符正交归一性。（2）正交函数系的例子。

　　（四）算符与力学量的关系

　　1.识记：（1）力学量与力学量算符关系的基本假定。（2）力学量平均值公式。

　　2.领会：厄密算符本征函数的完备性。

　　3.综合运用：求力学量的可能值和出现的几率及其平均值。

　　（五）算符的对易关系

　　1.识记：（1）量子力学中的基本力学量算符及其对易关系。（2）力学量算符间对易关系的运算法则。

　　2.领会：力学量算符对易关系的意义。

　　3.综合运用：会计算任何两个力学量算符的对易关系。

　　（六）两个力学量同时具有确定值的条件

　　1.识记：两个力学量同时具有确定值的条件。

　　2.领会：两个力学量同时具有确定值的条件的物理含义。

　　3.简单应用：会证明“两个力学量算符有共同本征函数系的充分必要条件是这两个力学量算符相互对易”。

　　（七）不确定关系

　　1.识记：不确定关系的数学表示式。

　　2.领会：不确定关系的物理意义。

　　3.简单应用：利用不确定关系估算量子体系的基态能量。

　　第四章  态和力学量的表象

　　考核要求

　　（一）态的表象

　　1.识记：（1）希耳伯特空间的定义。（2）态的表象的物理含义。

　　2.领会：坐标表象和动量表象的意义。

　　3.简单应用：会推求态函数在坐标、动量和能量表象中的表示。

　　（二）算符的矩阵表示

　　1.识记：厄密矩阵的定义。

　　2.领会：力学量算符在自身表象中的表示是对角矩阵。

　　3.简单应用：会推求力学量在坐标、动量和能量表象中的矩阵表示。

　　（三）量子力学公式的矩阵表示

　　1.识记：久期方程的意义。

　　2.领会：平均值公式、本征值方程和薛定谔方程的矩阵表示。

　　3.综合运用：会利用矩阵方法求解力学量算符的本征解。

　　第五章  微扰理论

　　考核要求

　　（一）非简并定态微扰理论

　　1.识记：（1）定态微扰理论的含义。（2）能级二级近似公式和波函数的一级近似公式。

　　2.领会：定态微扰理论的适用条件。

　　3.简单应用：利用非简并定态微扰理论求解量子体系的近似解。

　　（二）简并情况下的微扰理论和氢原子的一级Stark效应

　　1.识记：Stark效应的含义。

　　2.领会：简并情况下的微扰理论中的零级近似波函数的选取。

　　3.简单应用：利用简并情况下的微扰理论求外电场中氢原子n=2时的近似解。

　　（三）变分法和氦原子基态

　　1.识记：（1）量子力学中变分法的含义。（2）氦原子体系的哈密顿算符。

　　2.领会：利用变分法求解量子体系基态能量的过程。

　　3.简单应用：会利用变分法求解量子体系基态能量。

　　（四）与时间有关的微扰理论及跃迁几率

　　1.识记：（1）常微扰和含时微扰的含义。（2）跃迁几率的计算公式。

　　2.领会：含时微扰及量子跃迁的物理意义。

　　第六章  自旋与全同粒子

　　考核要求

　　（一）电子自旋

　　1.识记：Uhlenbeck-Goudsmit假设。

　　2.领会：Stern-Gerlach实验。

　　（二）电子的自旋算符和自旋函数

　　1.识记：（1）自旋算符的定义。（2）Pauli算符的定义。（3）Pauli算符的矩阵表示。（4）自旋算符及其各分量算符的本征值。

　　2.领会：（1）自旋算符各分量之间的对易关系及其性质。（2）自旋波函数的物理意义。（3）完全波函数的物理意义。

　　3.综合运用：（1）会推导自旋算符和自旋波函数的矩阵表示。（2）对自旋和坐标求平均的平均值公式。

　　（三）两个角动量的耦合和光谱的精细结构

　　1.识记：（1）角动量算符的定义。（2）两个角动量算符耦合的定义。（3）光谱精细结构的含义。

　　2.领会：（1）耦合表象和无耦合表象和它们之间的变换关系。（2）如何利用角动量耦合理论计算光谱的精细结构。

　　（四）全同粒子及其特性、全同粒子体系的波函数和Pauli原理

　　1.识记：（1）全同粒子的定义。（2）费米子和玻色子。（3）全同性原理。（4）Pauli原理。

　　2.领会：（1）全同粒子的特性。（2）全同性原理的物理意义。（3）全同粒子体系的波函数对称化的物理含义。

　　3.综合运用：在单体近似下，根据全同性原理能对称化体系的波函数。

　　（五）两个电子的自旋波函数

　　1.识记：两个电子自旋波函数在耦合表象和无耦合表象的表示。

　　2.领会：（1）两个电子自旋波函数的耦合表象和无耦合表象之间的变换关系。（2）三个对称态和一个反对称态的物理意义。

　　3.综合运用：会推求耦合表象中两个电子自旋算符的本征值和本征矢。

　　3、有关说明和实施要求

　　（1）使用本大纲的说明

　　本大纲所列考核内容是经过精心筛选后确定的，教材上过于繁杂、与后续课程关系不大或对现代科技发展及物理学发展没有直接关系的内容没有列入。

　　学生在自学或教师在助学量子力学时应着重于量子力学的基本概念、掌握常用的基本方法求解或计算一些具体的简单问题（例如求解一些简单的本征问题，像一维无限深势阱问题、线性谐振子本征问题和角动量z分量的本征解问题等；用基本对易关系和公式计算力学量算符之间的对易关系；利用五个基本假设解决一些简单问题，像力学量可测值和出现的相应几率等；会用非简并微扰理论计算简单体系的能量近似值等），能够对一些容易混淆的概念做出正确的判断且加以说明，会利用一些基本定律和定理等证明一些重要结论（例如利用厄密算符的定义证明其本征值为实数、证明厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交、证明一些力学量算符的基本对易关系等）。

　　在教师出题过程中应当重在考察学生对量子力学基本概念和重要的基本知识的理解、利用基本方法解决一些简单问题的能力。

　　（2）考试形式主要有：闭卷、半开卷、开卷考试三种形式。

　　（3） 考试时间

　　闭卷考试：试题一般为：单项选择、填空、判断、名词解释、证明、计算等，题量在20—35小题，考试时间2小时；

　　半开卷考试：试题一般选择证明、计算等题型，题量在5-8题，考试时间2小时；

　　开卷考试：试题一般侧重于综合试题，重在考查学生独立解决问题的能力和创新的能力，要求学生在3-5天内完成。

　　（4）学习本课程应具备的知识

　　在学习本课程之前学生应当修读过数学分析、线性代数、矢量场论、数学物理方法、力学、电磁学、光学、理论力学、原子物理学等课程。

　　（5） 附本课程考试题型：

　　一、单项选择题（请选出最佳答案，每小题1分）

　　1. 能量为100ev的自由电子的De Broglie 波长是

　　A. 1.2 .  B. 1.5 .  C. 2.1 .  D. 2.5 .                        （A）

　　2. 能量为0.1ev的自由中子的De Broglie 波长是

　　A.1.3 .   B. 0.9 .  C. 0.5 .  D. 1.8 .                        （B）

　　3. 用Bohr-Sommerfeld的量子化条件得到的一维谐振子的能量为

　　A. ， .       B. ， .

　　C. ， .   D. ， .        （A）

　　二、填空题  （每题1分）

　　1.Compton效应证实了                        .   （光具有粒子性）

　　2.Bohr提出轨道量子化条件的数学表达式是     . （ ）

　　3.Sommerfeld提出的广义量子化条件是          . （ ）

　　三、判断题（每题3分）

　　（评分标准：判断正确给1分，叙述理由正确给2分）

　　1、量子力学是18世纪20年代诞生的科学。 （错，应为19世纪）

　　2、量子力学的建立始于人们对光的波、粒二象性的认识。

　　（不对，应始于De Broglie的微观粒子的波粒二象性）

　　3、能量子的概念由爱因斯坦提出。（错，应是普朗克）

　　四 名词解释

　　1.量子现象

　　凡是Planck常数h在其中起重要作用的现象都可以称为量子现象。（3分）

　　2.德布罗意公式

　　E=h =    （1分）， .（2分）

　　3.光子

　　Einstein 认为电磁辐射不仅在被吸收和发射时以能量为 的微粒出现，而且以这种形式以速度c在空间运动，这种粒子叫做光量子或光子。（3分）

　　五  证明题 （每题8分）

　　1.证明厄密算符的本征值为实数。

　　证明：若 ， 为厄米算符，则证明 为实数。由厄米算符定义，令 ，

　　，                                （1）

　　左= ，

　　右＝ ，                           （2）

　　，

　　，                                      （3）

　　，    为实数。                              （4）

　　评分说明：（1）、（2）、（3）、（4）式各2分。

　　2.证明对于非简并情况，厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交。

　　证明：设厄米算符 有一个非简并的函数系，取其中的任意的两个： 和 ， 有

　　， ，                            （1）

　　按厄米算符定义，有 ，

　　而上式的左端 ，右 ，

　　所以 ， ，                        （2）

　　故 .                                           （3）

　　这就是厄米算符本征函数的正交性的数学表达。

　　如果 ， 则  ，若 ，则 ，

　　即 .                                         （4）

　　这就是厄米算符本征函数的正交、归一性。

　　评分说明：（1）、（2）、（3）、（4）式各2分。

　　六 计算题  （每题8分）

　　1.一粒子由 描写，计算其几率流密度，并说明其物理意义。

　　解：在球坐标中，梯度坐标为

　　。                       （1）

　　只是 的函数，与 ， 无关，所以

　　， ， （2）

　　几率流密度 ，            （3）

　　所以  .                （4）

　　所得结果说明 表示向外传播的球面波。                    （5）

　　评分说明：（1）、（5）式各1分，（2）、（3）、（4）式各2分。

　　2.一粒子由 描写，计算其几率流密度，并说明其物理意义。

　　解：在球坐标中，梯度坐标为

　　。                      （1）

　　只是 的函数，与 ， 无关，所以

　　， ，    （2）

　　几率流密度 ，           （3）

　　所以  .            （4）

　　所得结果说明 表示向内（即向原点）传播的球面波。       （5）

　　评分说明：（1）、（5）式各1分，（2）、（3）、（4）式各2分。

　　4.      求在一维势场 中运动的粒子的能级和本征函数。

　　解：粒子被限制在 区间运动，除 和 两点及其以外，粒子在 内却是自由的，故状态可以看作两个动量为 和 的平面波的叠加，即

　　，

　　由 得  ， 即 .

　　所以  ，            （1）

　　由  得     ，

　　即要求   ，                         （2）

　　所以    ，   （  ）不给出新的解。 （3）

　　。  为归一化常数，  .                 （4）

　　评分说明：（1）、（2）、（3）、（4）式各2分。（用其它解法可酌情给分）

河北省教育考试院